かつて，フランスの数学者デカルトが，その存在を認めず「想像上の数」とよんだ奇妙な数，それが「虚数」です。プラスの数もマイナスの数も，2乗する(2回かける)と必ずプラスになるはずです。ところが虚数は「2乗するとマイナスになる」のです。存在が認められるまでに長い時間がかかった虚数も，現代では高校でも学ばれる重要な概念です。 　虚数と実数を足しあわせた「複素数」は，数学だけでなく，自然界を解き明かす物理学でも重要な役割を果たしています。また，複素数を拡張した「四元数」は，今やCGや3Dゲーム開発には欠かせません。 　本書は，虚数についてくわしく解説するとともに，虚数にいたるまでの人類と数の歴史も紹介しています。虚数の不思議な世界を，ぜひお楽しみください。 1 数の歴史 人類が虚数と出会うまで イントロダクション 自然数 ゼロ 負の数 負の数のかけ算 有理数 無理数 実数 Column 1 2が無理数であることの証明 Column 2 2を分数であらわす方法─連分数 Topics 実数の完成と無限の概念 2 虚数とは何か 虚数のはじまり カルダノの“解けない問題” “解けない問題”の答え Column 3 ギャンブル好きで確率論の発展にも寄与したカルダノ 3次方程式と虚数 虚数とオイラー 虚数とガウス 虚数が市民権を得るまで Column 4 「2次方程式」には，実数では答えが出せないものがある Newton Special Dialogue 虚数を語る 3 図を見てわかる複素数 複素数のあらわし方 複素数の足し算 複素数のかけ算 1〜2 複素数の極形式 Q&A 1 複素平面はなぜ「ガウス平面」とよばれる? Q&A 2 虚数に大小はある? 虚数で解く不思議なパズル 1〜2 Column 5 「カルダノの問題」を複素平面で確かめてみよう Column 6 「マイナス×マイナス＝マイナス」の世界とは？ 複素平面と幾何学 Column 7 複素平面の反転と無限遠点 マンデルブロ集合 代数学の基本定理 Topics 「代数学の基本定理」の証明 四元数 Q&A 3 -1の4乗根，8乗根，16乗根は？ Column 8 複素数ニュートン法による フラクタル Column 9 CG，3Dゲームの開発にも欠かせない四元数 Topics 黄金比と正五角形と複素数 4 “世界一美しい” オイラーの等式 オイラーの等式とは？ ネイピア数e 虚数i 円周率π 三角関数 オイラーの等式への道のり 1〜3 オイラーの公式の恩恵 虚数乗の計算 Column 10 近代数学の基礎を築いた 天才数学者オイラー 5 物理学に秘められた虚数 電気回路と虚数 航空機と虚数 光・天体と虚数 4次元時空と虚数 1〜2 未知の粒子と虚数 量子力学と虚数 1〜3 Q&A 4 実在しない虚数が， なぜ自然界にかかわる？ Topics 量子力学と複素数 Topics 小林・益川理論と虚数 6 虚数と整数論の深い関係 ガウス素数 平方数和の定理 リーマンの明示公式 虚数の積分を用いた証明 Column 11 チェビシェフのかたより