本書は，物性物理学における物質のトポロジカル相（topological phase）の理論の一部について，特に数学的な立場からまとめたものである．とりわけ，トポロジカル相の分類，バルク・境界対応の数学的証明，の2つを軸として，分野の全体像をなるべく俯瞰することを目指した． 【目次】 第1章　導入（連成ばねの力学／整数量子ホール効果／対称性に守られたトポロジカル相） 第2章　関数解析からの準備（ヒルベルト空間と有界線形作用素／C*-環／本書に登場するC*-環の例／可換C*-環） 第3章　フレドホルム作用素の指数理論（フレドホルム作用素／フレドホルム指数／自己共役フレドホルム作用素のスペクトル流／テープリッツ作用素／実ヒルベルト空間上のフレドホルム作用素） 第4章　作用素環のK理論（C*-環のK0群／C*-環のK1群／6項完全列／位相的K理論／同変K理論／Z2-次数つきC*-環のK群／フレドホルム加群と指数ペアリング） 第5章　複素トポロジカル絶縁体（バルク系のトポロジカルな分類／境界状態のトポロジカル指数／アティヤーシンガーの指数定理／バルク・境界対応／整数量子ホール効果／一様磁場と非可換トーラス／ラフリンの思考実験） 第6章　ランダム作用素の非可換幾何学（ランダムな観測量の代数: 周期的な物質の場合／ランダムな観測量の代数: 非周期的な場合／巡回コホモロジー理論／非可換チャーン指標／バルク・境界対応） 第7章　粗幾何学とトポロジカル相（ロー環と一様ロー環／ユークリッド空間の粗C*-環の非可換幾何／非周期的ハミルトニアンのバルク・境界対応／螺旋転位とバルク・欠陥対応） 第8章　トポロジカル絶縁体と実K理論（AII型トポロジカル絶縁体／キタエフの周期表／実C*-環／実C*-環のKR0群／KRj群とAZ対称性／非周期的なトポロジカル絶縁体） 第9章　スペクトル局在子（複素スペクトル局在子／実指数ペアリングの斜交スペクトル局在子） 第10章　捩れ同変K理論（量子力学の対称性: ウィグナーの定理／フリードームーアの捩れ／フリードームーア捩れ同変K理論／捩れ対称性に守られたトポロジカル相の分類／AZ対称性再訪／鏡映対称性に守られたトポロジカル相） 第11章　トポロジカル結晶絶縁体（結晶対称性とその一般化／結晶対称性に守られたトポロジカル相／捩れ結晶T双対／アティヤーヒルツェブルフのスペクトル系列／トポロジカル絶縁体の誘導とアトミック絶縁体） 第12章　関連する話題（アンダーソン絶縁体のトポロジカル相／ギャップラベリング予想／連続系のバンド理論／高次トポロジカル相／ワイル半金属／非エルミート系／多体系としての自由フェルミオン／分数量子ホール効果） 付録A　補遺（関数解析とC*-環論の補足／カスパロフ理論／留数コサイクルと局所指数定理） 参考文献 索引 導入／関数解析からの準備／フレドホルム作用素の指数理論／作用素環のK理論／複素トポロジカル絶縁体／ランダム作用素の非可換幾何学／粗幾何学とトポロジカル相／トポロジカル絶縁体と実K理論／スペクトル局在子／捩れ同変K理論／トポロジカル結晶絶縁体／関連する話題／補遺