双曲幾何とは、平行線の公理を否定して作られた非ユークリッド幾何学のことである。より一般的なリーマン幾何学の重要な例の一つであるが、それだけにとどまらない。群と作用(リー群)、複素関数論とリーマン面、基本群(離散群)など、双曲幾何に関わる数学は多く、本書ではそれらの関わりの一端を示す。 　まえがき 第1章　1次分数変換 　§1.1　ガウス平面と1次分数変換 　　(a)　ガウス平面と1次変換 　　(b)　1次分数変換 　　(c)　リーマン球面 　§1.2　群と作用 　　(a)　群 　　(b)　群の作用 　　(c)　1次分数変換群 　§1.3　1次分数変換の性質 　　(a)　円円対応 　　(b)　PSL(2; C)の元の分類 　まとめ 　演習問題 第2章　上半平面とポアンカレ計量 　§2.1　ポアンカレ計量 　　(a)　曲線の長さ 　　(b)　ポアンカレ計量 　　(c)　距離空間の公理 　　(d)　等長変換群 　§2.2　幾何学とそのモデル 　　(a)　円盤モデル 　　(b)　測地線の一意性 　　(c)　3角形の合同条件 　　(d)　等長変換の決定 　　(e)　幾何学が同じということの意味 　　(f)　エルランゲン・プログラム 　§2.3　共形変換・等角写像 　　(a)　1次分数変換の共形性 　　(b)　複素関数論との関係 　　(c)　測地線の決定 　まとめ 　演習問題 第3章　双曲面モデル 　§3.1　双曲面モデル 　　(a)　ローレンツ計量(ミンコフスキー計量) 　　(b)　双曲面モデル 　　(c)　等長変換 　　(d)　等長変換の推移性 　　(e)　双曲面モデルでの測地線 　§3.2　3角法 　　(a)　双曲面モデルでの長さと角度 　　(b)　2本の測地線の位置 　　(c)　線形代数の補題 　　(d)　3角法の諸公式 　§3.3　理想境界 　　(a)　射影モデル 　　(b)　モデルの等価性1 　　(c)　モデルの等価性2 　まとめ 　演習問題 第4章　タイル張り，離散群，ガウスーボンネの定理 　§4.1　多角形の面積 　　(a)　面積の定義 　　(b)　3角形の面積 　　(c)　多角形のガウスーボンネの定理 　　(d)　オイラーの定理 　§4.2　平面のタイル張りと離散群 　　(a)　タイル張り 　　(b)　タイル張りの自己同型群 　　(c)　基本領域 　　(d)　離散群 　　(e)　ディリクレ基本領域 　§4.3　双曲面のタイル張りと離散群 　　(a)　双曲面のタイル張り 　　(b)　鏡映群 　　(c)　閉曲面と離散群 　まとめ 　演習問題 　現代数学への展望 　問解答 　演習問題解答 　索　引