多くの概念が組み合わさってリーマン対称空間の構造が現れていく過程を味わう。 数学の美しさの一つは分類である。例えば正多面体は五つしかないが、リーマン対称空間も有限個の型に分類でき、この分類はE. カルタンが1920年代に完成させた。この流れを紹介することが本書の主題である。 また、数学の面白さは、色々な概念が融合することによって、見えなかった形が見えてくることである。代数学の有限群論から始まり、群の作用を考えればその軌道分解が得られ、群の構造が見えてくる。そこに位相や多様体としての構造が付加されると、対象がだんだん研ぎ澄まされていく。さらに幾何学的な対称性を付加することにより、リーマン対称空間の分類が可能になる。群、位相、多様体、リー環、対称といった多くの概念が組み合わさることで、リーマン対称空間という構造が明確に現れる。 第I部で具体的な計算にじっくり取り組み、第II部では連続群の話からリーマン対称空間の分類が形式化されていく過程を俯瞰してほしい。 基本は行列からなる群、すなわち古典群であり、本書で使われる計算はこの行列計算のみである。しかし分類を理解するには群と位相の基礎的な概念や、多様体、リー群とその等質空間などの数学を理解する必要もある。多くの例題を載せたので、それらを理解するだけでも楽しい学びとなるだろう。 第I部　群と作用 第1章　古典群 1.1　群 1.2　ベクトル空間 1.3　古典群 第2章　位相群 2.1　位相空間 2.2　連続 2.3　位相群 2.4　リー群 第3章　群の作用 3.1　位相変換群 3.2　等質空間 3.3　軌道空間 第4章　群の分解 4.1　GL(n,C) の岩沢分解 4.2　GL(n,C) のカルタン分解 4.3　GL(n,C) の極分解 4.4　GL(n,C) のブリュア分解 4.5　その他の群の分解と軌道分解 第II部　リー群と対称空間 第5章　リーマン対称空間 5.1　多様体 5.2　リーマン対称空間 5.3　リー群の対称対 第6章　対称空間の分類 6.1　リー環 6.2　半単純リー環 6.3　対称リー環 6.4　直交対称リー環の構造 6.5　対称空間の分類 6.6　単連結でないリーマン対称空間 6.7　分類リスト 第7章　いろいろな例 7.1　ローレンツ群 7.2　SU(2) の随伴表現 7.3　SL(2,R) と SU(1,1) 7.4　対合と対称と双対 参考文献 索引